Goedel per tutti (con un po' di sforzo ...)

E’ da qualche tempo che volevo leggere quest’ultimo libro uscito nel marzo 2008 su Goedel e il famoso teorema di incompletezza, libro scritto (finalmente) da un italiano (Francesco Berto) in italiano (così finalmente non si ha la necessità di una traduzione o di leggere in una lingua straniera) dal titolo molto “commerciale” (Tutti pazzi per Goedel !). Devo confessare che il titolo mi faceva un po’ diffidare del libro. Temevo infatti di ritrovarmi davanti il solito “chiacchiericcio” su mentitori, paradossi e relativismo spicciolo. Invece il libro è molto rigoroso e non ha paura di usare un formalismo logico che può spaventare ma che porta il lettore (anche) profano ad una comprensione (la migliore possibile forse prima di affrontare l’argomento da studiosi) dei due teoremi di Goedel.
Sicuramente uno dei punti di forza del libro è l’idea di esprimere prima i teoremi in una versione che possiamo definire popolare (l’autore la definisce “versione semantica informale”):

G1. Se S è un sistema formale corretto, in grado di esprimere una certa porzione di aritmetica, allora esiste un enunciato G(S) formulato nel linguaggio L del sistema, tale che G(S) è indecidibile in S, ossia né dimostrabile né refutabile.

G2. Se S è un sistema formale corretto, in grado di esprimere una certa porzione di aritmetica, allora S non può provare la sua coerenza.

E’ così possibile tentare di destreggiarsi successivamente tra l’Aritmetica Tipografica, le funzioni ricorsive, la goedelizzazione e altri concetti di base non triviali necessari per inquadrare i risultati goedeliani, ed arrivare anche alle formulazioni rigorose (meno popolari) dei teoremi. La prima parte del libro consente così anche ad un lettore medio (è un libro che si può, e forse si deve, semplicemente leggere non studiare) di arrivare ad afferrare ad un buon livello di comprensione i due teoremi, per poter così introdurre, nella seconda parte del libro, le conseguenze del teorema, sia nel suo dominio specifico della logica-matematica, sia nelle sue implicazioni in campi diversi, all’epoca (il teorema è del 1931) ancora quasi inesplorati. Una conseguenza sicuramente molto di moda e affascinante è nel campo dell’Intelligenza Artificiale.

Ma non voglio qui entrare nelle argomentazioni del libro, per quello vi lascio il piacere di leggere le sue 250 pagine. Quello che è sicuramente interessante (e stupefacente per certi aspetti) è perché un teorema apparentemente così settoriale ha un tale successo presso il grande pubblico (non possiamo dimenticare Goedel, Escher, Bach di Hofstadter, premio Pulitzer nel 1979)? Nelle ultime pagine del libro troviamo, forse, uno di questi motivi, nell’interpretazione di Wittegenstein, che vuole rompere quello che è forse uno dei massimi pregiudizi, ovvero quello secondo cui “le contraddizioni rendono i sistemi formali del tutto inutili”. Si umanizza così anche la logica e la matematica, le si riporta (andando paradossalmente contro i propositi originari di Goedel) dal mondo platonico a quello terreno. Nulla sembra poter essere così più irrevocabile, immutabile, granitico. Certo è necessario il coraggio dell’avventura (dice ancora Wittegenstein: “E se è vero che vado in cerca di avventure, allora non posso andare in cerca di quelle avventure nelle quali questa prova non mi offre più alcuna sicurezza?”) ma forse è proprio il fascino dell’avventura che non risparmia più neanche qualcosa che sembra morto e arido a donare ad un teorema logico-matematico pubblicato in tedesco ad inizio secolo un grande successo popolare.
Consiglio quindi di fare un piccolo sforzo per passare gli scogli del formalismo e delle dimostrazioni per arrivare a vedere quanto ci sia di umano anche nella logica-matematica, e leggere questo bel libro di Francesco Berto, Tutti pazzi per Goedel, dal sottotitolo ironico La guida completa al Teorema di Incompletezza, edito da Laterza.